近日，成都理工大學地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室和數理學院王宇杰教授團隊與上海交通大學物理與天文學院以及華東師范大學物理與電子科學學院合作者合作，揭示了土力學中臨界狀態(critical state)的物理起源。該工作以“Origin of the critical state in sheared granular materials”為題近期發表在《自然物理》（Nature Physics）。該項成果標志著成都理工大學在顆粒物理以及土力學基礎研究方向取得的重要突破。
顆粒物質一般指具有宏觀大小的粒子匯集而成的離散體系，包括自然界中的沙石、土壤、浮冰、積雪，日常生活中的糧食、糖、鹽，工業生產中的煤炭、礦石、建材，以及不少藥品、化工品都屬于顆粒物質的范疇。當沒有外力作用時，顆粒物質會像固體一樣保持靜止，而在外部擾動下，它們又能夠像液體一樣發生流動。在流動的穩定狀態下，體系的宏觀體積和剪切力將保持不變，人們將顆粒物質的這種特殊狀態稱為“臨界狀態”（critical state）。臨界狀態是土力學領域中的基本概念，是劍橋模型等常用經驗本構關系的基礎。然而，對臨界狀態的物理本質目前人們并沒有充分的認識，導致現有的土力學研究缺少微觀機制和基礎，在應用上受到了限制。
在物理學家看來，顆粒物質屬于無序/非晶體系大家族的范疇，特點是不具備晶體的周期性結構。而臨界狀態則類似于剪切下無序體系的穩定流動狀態。將無序體系研究中獲得的知識沿用到顆粒物質中來是理解臨界狀態的產生機制的最有效途徑之一。然而，顆粒系統本質上是非熱平衡的，其宏觀行為難以被傳統的統計力學框架描述。此外，顆粒系統還具有因接觸摩擦引起的額外接觸層面物理現象，這在其他無序體系中是不存在的。因此，顆粒系統與熱無序體系之間的聯系至今沒有定論。
要徹底理解臨界狀態的微觀本質和建立宏微觀聯系，首先需要建立一個顆粒物質滿足的統計力學框架。上世紀90年代，劍橋大學S. F. Edwards教授及合作者提出了顆粒物質的統計力學系綜框架，成為了相關領域長期以來的研究熱點。簡單來說，該框架將顆粒體系堆積所占的空間體積類比為平衡態中的能量（也被稱作體積系綜），進而推導出顆粒系統的溫度、熵等一系列統計力學指標。王宇杰研究團隊和合作者在前期研究中開展了Edwards統計力學框架的驗證工作，他們實驗證實了Edwards體積系綜框架適用于顆粒物質，給出了顆粒溫度、熵等計算結果，并驗證了顆粒溫度滿足熱力學第零定律。他們還澄清了摩擦通過改變力學穩定堆積的態密度進而影響顆粒物質統計力學的機制(Phys. Rev. Lett., 127 018002(2021))。同時他們還發現基于漲落耗散關系定義的有效溫度與Edwards顆粒物質溫度的一致性，證明了顆粒物質中存在一個普適的非平衡態統計物理框架和有效溫度(Phys. Rev. Lett. 129 228004 (2022))。
基于這一顆粒體系滿足的統計力學框架，王宇杰研究團隊與合作者在最新發表的Nature Physics論文中揭示了土力學中一個關鍵概念即顆粒物質臨界狀態（critical state）的物理起源。研究團隊采用三種不同摩擦系數的顆粒開展了簡單剪切實驗。在足夠大的應變下，這些體系都進入到了臨界狀態。他們研究發現，剪切下的臨界狀態堆積與對應的顆粒隨機松堆（random loose packing，RLP）具有幾乎相同的統計力學性質（平均體積分數和微觀體積分布）。在Edwards理論框架中，RLP對應于具有最大熵的特殊狀態，在該狀態下所有的微觀狀態都是等概率的。而要理解顆粒體系微觀態的來源，需要從更廣泛的無序體系堆積結構入手。鑒于顆粒堆積結構非常類似于一般的硬球過冷液體，他們指出顆粒物質的堆積構型或微觀態與硬球過冷液體結構存在對應關系。然而，顆粒物質與硬球過冷液體存在本質區別，顆粒體系在沒有外界的擾動下都是靜態的，對應的構型必須是力學穩定的，而哪些微觀態可以滿足力學穩定要求直接受顆粒間摩擦的大小決定。Edwards體積系綜框架已經包含了力學穩定性假設，進一步考慮硬球過冷液體中不存在的顆粒間摩擦相互作用變得至關重要。在本工作中，他們發現摩擦的大小會改變顆粒體系Edwards系綜的態密度與熵（圖1a）。具體表現摩擦會對態密度起到放大作用，使得同樣體積分數下，大摩擦體系的微觀狀態更多。由于在臨界狀態時，所有微觀態是等概率遍歷的，對所有的微觀態進行等權平均會得到臨界狀態的體積分數。不同摩擦體系態密度的差異正是導致對應臨界狀態體積分數不同的直接原因。同時，這也解釋了為什么摩擦可以有效拓寬體積分數的范圍，高摩擦體系可以具有更低的體積分數。該研究表明，在顆粒物質中無序結構和摩擦共同決定了微觀態，在統計力學中都扮演了不可忽視的重要角色。過去人們忽略摩擦，將顆粒物質與無序體系完全等同，或者單純認為摩擦接觸構型完全決定態密度，不考慮無序結構構型熵（complexity）的做法都是不完整的。
圖1 (a)三種不同摩擦的顆粒堆積中Edwards熵S與體積分數φ間的關系。插圖：經過變量變換后，不同摩擦體系的Edwards熵與體積分數表現出統一的函數關系。(b-d)不同摩擦顆粒系統的能量景觀示意圖：(b)無摩擦顆粒堆積中只有能量景觀低處的態能夠維持力學穩定；(c)有限摩擦的顆粒體系，顆粒的表面粗糙形貌會在接觸尺度上對能量景觀進行修飾，使得更高位置的態能夠力學穩定住；(d)當摩擦趨于無窮時，所有的阻塞堆積都滿足力學穩定要求。
同時，他們研究發現盡管不同摩擦體系存在定量上的差異，在引入適當的狀態變量變換后，它們的狀態方程會表現出相同的形式。例如，通過變量變換把摩擦的影響剔除后，他們發現顆粒堆積的Edwards溫度、熵、接觸數等狀態參量是體積分數的唯一函數，與摩擦系數的大小無關（圖1a插圖）。這表明，不同摩擦的球形顆粒堆積系統理論上可以使用統一的框架進行處理。這個結果隱含了雖然顆粒體系的微觀態由無序結構和摩擦共同決定，但它們之間僅僅是弱耦合關系。這本質上是由于兩者具有明顯的尺度分離（無序結構對應顆粒尺度，而摩擦接觸對應表面尺度）。
圖2 硬球體系的能量景觀示意圖。高溫液體會在溫度作用下進行熱運動，在不同的構型間弛豫。快速壓縮下，硬球液體構型中的近鄰粒子會相互接觸，從而處于每個構型盆地的底部，形成阻塞堆積。
進一步深究，通過該現象還可以近似得到的另一個推論是顆粒體系關鍵物理過程主要由無序構型或者能量景觀的整體形貌決定的，而摩擦在其中僅起到放大作用。在硬球過冷液體等無序體系研究中，其微觀態一般用能量景觀或者自由能景觀來表征（圖2）。在能量景觀圖像中，當溫度降低時，硬球液體將進入玻璃能量景觀，景觀中的盆地對應于不同的硬球構型，但這些構型還不是力學穩定的。如果快速壓縮硬球體系，它們將會被限制在盆地的底部并形成力學穩定的堆積結構。基于上述圖像，該研究發現顆粒體系的臨界狀態可以被看作為處在能量景觀剛形成時（體系剛出現固體剛性），具有Ton溫度的硬球液體，此時所有的構型（盆地）都可以被遍歷（圖3）。而處于隨機密堆狀態（random close packing, RCP）的顆粒體系位于能量景觀的深處，對應于在玻璃轉變溫度Tc或動力學轉變溫度Td的硬球過冷液體，這時只有能量景觀中比較低的構型可以被遍歷。對于不同的摩擦體系，由于所有的顆粒堆積構型都來源自于同樣的高溫硬球液體，不同摩擦的體系在粒子尺度上的構型相同，表現出普適的硬球行為。這也同時解釋了歸一化后的顆粒體系的Edwards熵與硬球過冷液體構型熵具有類似的隨體積分數演化行為的現象。然而，區別于硬球液體，顆粒體系需要滿足力學穩定的要求，并受到摩擦的調控。摩擦本質上可以被看作為對能量景觀的修飾，光滑顆粒體系對應的能量景觀依然光滑，而粗糙顆粒體系的能量景觀將出現許多“鋸齒”。對于無摩擦顆粒體系而言，只有能量景觀底部的構型滿足力學穩定條件；高摩擦顆粒的表面粗糙使許多稀疏的堆積構型也能夠滿足力學穩定，從而可以出現對應能量景觀高處的構型；當摩擦趨近于無窮大時，能量景觀中的所有態都符合力學穩定的要求。
圖3 (a)硬球液體的能量景觀示意圖：能量景觀剛出現時，處于溫度Ton的硬球液體能夠遍歷整個能量景觀；玻璃化轉變溫度Tc或動力學轉變溫度Td的硬球液體位于能量景觀的深處，無法遍歷整個景觀。(b)顆粒堆積的能量景觀示意圖：在RLP態，顆粒堆積的所有力學穩定態出現的概率相等；在RCP態，體系處于能量景觀深處。(c, d)硬球液體構型熵3-5(c)以及顆粒堆積Edwards熵(d)與體積分數間的關系。
基于這種類比，研究團隊解釋了顆粒體系的剪切膨脹現象與臨界狀態出現的微觀機制：對顆粒體系施加剪切等效于對過冷硬球液體進行加熱，即對應于把玻璃化動力學轉變溫度Tc附近的過冷硬球液體升溫，此時體系只能在能量景觀中比較低的構型中進行弛豫，體積分數較大；而剪切使體系升溫達到玻璃化動力學剛開始出現的溫度Ton，此時能量景觀中所有的構型態都能夠被遍歷，導致體積分數變小。這個升溫過程帶來了體積的增加，因此顆粒體系中會出現剪切膨脹現象，而最終的穩態或者臨界狀態其實本質上就是能量景觀起始溫度Ton或者體系固體剛性剛好消失的硬球液體所對應的堆積狀態。如圖4所示，研究發現即便對于同樣的升溫過程（Tc到Ton），由于摩擦會影響態密度，大摩擦體系的體積分數的范圍會更大，剪切下的體積變化更加顯著。這解釋了相比于無摩擦硬球，顆粒堆積的剪切膨脹效應更加明顯的現象。摩擦主要起到的是大“熱”膨脹系數效應。
圖4 硬球液體與有摩擦顆粒堆積的對應關系。顆粒的堆積態可以映射到硬球液體，顆粒體系的剪切膨脹現象對應于硬球液體的升溫過程。摩擦會影響態密度，從而決定剪切膨脹過程所帶來的體積變化大小。
王宇杰研究團隊及其合作者所看到的實驗現象以及他們做出的物理解釋，為構建顆粒物質和硬球液體之間的聯系提供了一種新的理解，提供了將無序體系基礎物理研究沿用到顆粒物質研究中的理論基礎。這種基于物理圖像的顆粒物質基礎研究進展也會對包括滑坡、泥石流、地震在內的多種地質過程中的相變過程產生重要影響，為顆粒物質的實際工程提供理論基礎。
論文通訊作者為王宇杰教授與華東師范大學物理與電子科學學院夏成杰副研究員，第一作者是上海交大物理與天文學院博士生邢義。該工作得到了國家自然科學基金No. 11974240、No. 11904102，上海交通大學科技創新基金No. 21X010200829，上海市科委項目No. 22YF1419900以及中國博士后科學基金項目No. 2021M702151的支持。
論文鏈接：Origin of the critical state in sheared granular materials | Nature Physics
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